Задания. Пирамида

1) Основанием пирамиды объёмом 1дм³ является прямоугольник. Угол между диагоналями прямоугольника  равен 30º, а высота пирамиды равна периметру основания. Вычислите площадь основания пирамиды.

2) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1см, а боковая поверхность равна 3см². Вычислите объём пирамиды.

3) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 3√3см, а высота √3см. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

4) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной 9м, и плоским углом при вершине, равным 60º.

5) Вычислите объём правильного тетраэдра с ребром 5см.

6) Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 12см.

7) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 6м, если двугранный угол при ребре основания равен 45º.

8) Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6см, а двугранный угол при ребре основания равен 45º. Найдите объём пирамиды.

9) Сторона основания правильной треугольной  пирамиды равна 8см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45º. Найдите объём пирамиды.

10) Найдите боковую поверхность и объём правильной треугольной пирамиды с высотой √3см и стороной основания 3√3см.

11) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 12см и углом 60º. Высота пирамиды равна 6см. Найдите её объём.

12) Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 7м, если её объём равен 98м³.

13) Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 7м, а плоский угол при вершине пирамиды равен 60º.

14) Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 16см и 12см. Каждое боковое ребро пирамиды равно √127 см. Вычислите объём пирамиды и ответ округлите до 0,01см³.

15) В правильном тетраэдре все рёбра равны 10см. Через середину ребра проведена перпендикулярная ему плоскость. Найдите объём пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной данного тетраэдра, а основанием является полученное сечение.

16) Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 3√2см, а боковое ребро – 4см. Найдите объём пирамиды.

17) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 20см, а высота –10см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

18) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 7м, а  боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30º.

19) Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды наклонена к основанию пирамиды под углом 60º. Вычислите площадь сечения, проведённого через диагональ основания и вершину пирамиды, если сторона основания равна 4дм.

20) Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3дм, а её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45º. Вычислите площадь основания пирамиды.

21) Сторона основания правильной  четырёхугольной пирамиды равна  3√2дм, а боковое ребро равно 4дм. Вычислите высоту пирамиды.

22) Высота пирамиды равна 5см. На расстоянии 3см от вершины пирамиды параллельно её основанию проведена плоскость. Площадь полученного сечения 27см². Найдите объём пирамиды.

23) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30º. Найдите угол наклона боковой грани пирамиды к основанию пирамиды.

24) В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60º. Найдите угол наклона боковой грани пирамиды к основанию пирамиды.

25) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна  с, а плоский угол при вершине равен α. Найдите боковую поверхность пирамиды.

26) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет длину l и  составляет с плоскостью основания угол α. Найдите площадь основания пирамиды.

27) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Боковые рёбра пирамиды наклонены к её основанию под углом β. Найдите площадь боковой грани, которая содержит гипотенузу треугольника,  лежащего в основании пирамиды.

28) В основании пирамиды лежит ромб со стороной  c  и острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под углом β. Найдите боковую поверхность пирамиды.

29) Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 5см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60º.

30) Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 6дм, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30º.

31) В пирамиде АВСF через медиану BD основания АВС и середину M бокового ребра AF проведена плоскость. Найдите отношение объёма многогранника BCDMF к объёму многогранника ABDM.

32) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6см. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении 1:3, считая от основания пирамиды. Постройте полученное сечение и найдите его площадь.

33) В правильной треугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, проходит через середину высоты. Площадь полученного сечения равна 4√3см². Постройте сечение и найдите сторону основания пирамиды.

34) В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине 60º и стороной основания 8см, все двугранные углы при рёбрах основания –  30º. Найдите высоту и площадь полной поверхности пирамиды.

35) В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 8см, все боковые грани наклонены к её основанию под углом 45º. Найдите высоту пирамиды и площадь её боковой поверхности.

36) Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, если её объём равен 64см³, а высота равна 12см.

37) Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, если площадь её боковой поверхности равна 75см², а сторона основания равна 10см.

38) Через сторону основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная боковому ребру. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания пирамиды равна 2, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 30º.

39) Через диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная боковому ребру. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания пирамиды равна 4, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30º.

40) Расстояние от середины высоты правильного тетраэдра до боковой грани равно к. Найдите площадь поверхности и объём тетраэдра.

41) Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды, у которой все рёбра равны, до бокового ребра пирамиды равно m. Найдите площадь поверхности и объём пирамиды.

42) Найдите площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания, равную 8см, и середину апофемы противоположной грани. Длина апофемы 8см.

43) Найдите площадь сечения правильного тетраэдра плоскостью, проходящей через сторону основания, равную 18см, и точку K, делящую апофему смежной боковой грани тетраэдра в отношении 2 : 1, считая от вершины.