Блок задач 1

Для решения задачи достаточно заметить, что каждая цифра один раз участвует в разряде единиц, один раз — в разряде десятков и один раз — в разряде сотен. Поскольку сумма данных в условии задачи цифр равна 45, получаем требуемую сумму 45 + 450 + 4500 = 4995,
которая не зависит от расстановки цифр.

Решая эту задачу следует рассуждать с конца. Схема игры показана в таблице:

Примем объем всей ванны за 1. Тогда для того, чтобы горячей воды в ванне оказалось в 1,5 раза больше, чем холодной, она должна занять 3/5 объема ванны. Так как за 1 минуту горячей водой заполняется 1/23 объема ванны, то кран с горячей водой должен быть открыт
3/5 : 1/23 = 69/5 (мин.).
Холодная вода к моменту наполнения ванны должна занимать 1 — 3/5 = 2/5 ее объема. Так как за 1 минуту кран с холодной водой заполняет 1/17 объема ванны, он должен быть открыт
2/5 : 1/17 = 34/5 (мин.).
Следовательно, если сначала открыть кран с горячей водой, то кран с холодной водой следует открыть через
69/5 — 34/5 = 7 (мин.).

Из условия задачи ясно, что бабушка в 12 раз старше своего внука. Обозначая возраст внука — х лет, бабушки — 12 х лет, получаем:
х + 12х = 65,
откуда х = 5. Поэтому внуку 5 лет.

Из условия следует равенство треугольников АВМ и АDК (см. рисунок).
Поэтому ∠ВАЕ = ∠DАН. Кроме того, АВ = АD и ∠АВЕ = ∠АDН. Поэтому треугольники АВЕ и АDН равны, и, значит DН = ВЕ = 3. Тогда АС = ВD = 10.

Во-первых, следует отметить, что число ПОЛК — четное. Значит, цифра К — четная, отлична от 0 и не превосходит 2. Поэтому К = 2, а следовательно, П равно 8 или 9, но поскольку именно произведение чисел 4 и 8 оканчивается цифрой 2, то П = 8. Теперь ясно, что
ПОЛК < 9000,
а, следовательно, КЛОП < 2250. Поэтому Л — это 1 или 0. Если Л = 0, то число ПОЛК на 4 не делится, значит, Л = 1. Теперь нетрудно определить, что букве О соответствует цифра 7. Получаем:
2178 + 2178 + 2178 + 2178 = 8712.

Из условия следует, что указанные три месяца содержат 12 воскресений. Известно, что воскресенье — седьмой день недели, Значит, эти три месяца насчитываю меньше, чем 13 •7 = 91 день. Остается заметить, что любые три подряд идущих месяца, среди которых нет февраля, насчитывают не меньше чем 91 день.

Пусть S — расстояние АВ в километрах. Тогда за время 30 минут велосипедист проехал (S/2 — 3) км, и поэтому его скорость равна
(S/2 — 3) / (1/2) = 2(S/2 — 3) = (S — 6) км/ч.
Мотоциклист за 20 минут проехал
(S/2 + 2) / (1/3) = 3(S/2 + 2) = (3 S/2 + 6) км/ч.
Скорость сближения велосипедиста с мотоциклистом равнялась, таким образом,
S — 6 + 3 S/2 + 6 = 5 S/2 (км/ч),
а встреча произошла через
S : (5 S/2) = 2/5 (ч),
то есть через 24 минуты после начала движения.

Опустим из вершины А высоту АМ на сторону ВС (см. рисунок).
Углы НСВ и МАВ равны как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами (возможно и другое обоснование:
∠НСВ = 90^о — ∠В и ∠МАВ = 90^о — ∠В).
Следовательно, прямоугольные треугольники СНМ и АВМ равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому, СМ = АМ, а, следовательно, треугольник АМС — равнобедренный и прямоугольный. Получаем: ∠АСВ = 45^о.

Число 1998 можно представить в виде
1998 = 19 • 2 + 1960 = 19 • 2 + 14 • 140.
Поэтому операции, которые приведут к появлению на доске числа 1998 могут быть следующими,.
14, 19, 14 + 19 = 33, 33+ 19 =52, 52 + 14 = 66,.
66 + 14 = 80, 80 + 14 = 94, …, 1984 + 14 = 1998..

Возведем в квадрат данные равенства:
(cos a + cos ß)² = cos² a + 2 cos a cos ß + cos² ß = a²,
(sin a + sin ß)² = sin² a + 2 sin a sin ß + sin² ß = b².
Складывая полученные равенства, получаем:
cos² a + 2 cos a cos ß + cos² ß + sin² a + 2 sin a sin ß
+ sin² ß = 2 + 2 (cos a cos ß + sin a sin ß) =
= 2 + 2 cos (a — ß) = a² + b².
Выражая из последнего равенства cos (a — ß) получаем:
cos (a — ß) = (a² + b² — 2) / 2.

Значения данных трехчленов при х = 1 равны
a + b + c. Поэтому, если бы приведенные на рисунке параболы были бы графиками данных трехчленов, то они пересекались бы в точке с абсциссой 1, и общее число точек пересечения у них было бы не 6, как это видно на рисунке, а не превосходило бы 4.

Для доказательства утверждений 1 и 2 следует воспользоваться признаками делимости на 3 и на 9. Контрпримерами для пункта 3 являются числа, например, А = 9, А = 18.

Нетрудно заметить, что на каждого из мальчиков, как на возможного виновника указали ровно двое из первых четырех свидетелей. Поэтому, кто бы ни разбил стекло, двое из первых четырех свидетелей сказали правду, а двое — неправду. Но по условию правду сказали трое. По-этому третьим сказавшим правду свидетелем может быть только пятый свидетель. А это означает, что он не знал, кто разбил стекло.

Из условия задачи следует, что АМКD — трапеция (см. рисунок).
Поэтому площади треугольников АМТ и DТК равны, по-скольку вместе с треугольником АТD они образуют равно-великие треугольники АМD и АКD. Аналогично доказываем равенство площадей треугольников АЕМ и ВЕН. Таким образом,
S _АЕТ = S _АМТ + S _АЕМ = S _DТК + S _ВЕН,
что и требовалось доказать.

Простыми рассуждениями нетрудно убедиться, что 15! и все последующие слагаемые данной суммы в разложении на простые множители содержат не менее трех 5 и не менее трех 2, а поэтому каждое заканчивается как минимум тремя нулями. Поскольку три последние цифры произведения и суммы зависят только от трех последних цифр сомножителей и слагаемых, то при решении задачи следует обращать внимание только на эти три цифры. В следующей таблице приведены три последние цифры первых четырнадцати слагаемых:

Теперь нетрудно определить, что три последние цифры данной суммы 313

Предположим, что уравнение имеет два целых корня. Тогда по формулам теоремы Виета имеем равенства:
a b = 150, a + b = 7n.
Поскольку n натуральное, то a b и a + b — положительные, а, следовательно, оба корня уравнения положительны. Полагая для определенности a ≥ b, получаем несколько возможностей:
1. a = 150, b = 1;
2. a = 75, b = 2;
3. a = 50, b = 3;
4. a = 30, b = 5;
5. a = 25, b = 6;
6. a = 15, b = 10.
Простым перебором убеждаемся, что только в случаях 2 и 4 сумма a + b делится на 7. Следовательно, a + b = 77, или a + b = 35. В первом случае n = 11, во втором n = 5.
Обратно, в случае, когда n = 11 уравнение имеет два целых корня 30 и 5, и, если n = 5, уравнение имеет два целых корня 75 и 2.

Рассмотрим функцию f(х) = 2х + sin⁴ х. Уравнение принимает вид:
f(х) = f(1).
Убедимся, что рассматриваемая функция возрастающая. Имеем:
f′(х) = 2+ 4 sin3 x cos x = 2 + 2 sin2 x sin 2x =
= 2 + (1 — cos 2x) sin 2x = 2 + sin 2x — 0.5 sin 4x.
Учитывая область изменения функции sin a, можем оценить производную функцию и убедиться, что f′(х) > 0. Значит, рассматриваемая функция возрастающая.
Поэтому данное уравнение имеет единственный корень
х = 1.

Продолжим стороны АВ и СD данного четырехугольника до пересечения их в точке М. Так как четырехугольник вписан в окружность, то ∠АDС + ∠АВС = 180°,
и, следовательно, ∠АDС = ∠МВС (по свойству смежных углов). Аналогично доказываем, что ∠DАВ = ∠ВСМ. Поэтому треугольники МВС и МDА подобны по двум углам, а, следовательно,
МD : ВМ = АМ : МС = АD : ВС.
Из полученных соотношений получаем:
ВМ = 4, МС = 3.
Имеем:
ВМ² + МС² = 16 + 9 = 25 =ВС².
По теореме, обратной теореме Пифагора, делаем вывод, что треугольник ВСМ прямоугольный. Значит, искомый угол ВМС — прямой.

Вполне ясно, что на третьем шаге игры вместо трех многоточий стоят некоторые числа a, b, c. Если второй игрок поставит на последнее свободное место число
— a — b — c — 1,
то сумма коэффициентов получается равной 0. В этом случае, как легко убедиться, число 1 будет корнем уравнения. Поэтому хорошо знающий теорию ученик, всегда выигрывает.